유클리드 군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유클리드 군의 표현
- 2.2. 유클리드 대수
3. 성질
- 3.1. 위상수학적 성질
- 3.2. 리 이론적 성질
4. 원소의 분류
5. 부분군
6. 등거리 변환의 합성
7. 켤레류
참조

1. 개요

유클리드 군은 유클리드 공간의 등거리 변환들의 위상군으로, 리 군의 반직접곱으로 표현된다. 특수 유클리드 군은 직교군 대신 특수 직교군을 사용한 리 군의 반직접곱이다. 유클리드 군은 병진 대칭과 회전 대칭에 대한 자유도를 가지며, 방향성을 보존하는 등거리 변환인 특수 유클리드 군과 방향성을 반전시키는 등거리 변환으로 구성된다. 유클리드 군은 아핀 군의 부분군이며, 유클리드 기하학의 대칭을 설명한다. 유클리드 군의 원소는 회전, 회전 평행 이동, 반사, 미끄러짐 반사로 분류되며, 1차원, 2차원, 3차원 등 다양한 차원에서 등거리 변환을 정의할 수 있다. 또한, 유클리드 군은 부분군, 등거리 변환의 합성, 켤레류와 같은 다양한 성질을 갖는다.

더 읽어볼만한 페이지

리 군 - 리 대수
리 대수는 가환환 위의 가군과 리 괄호 연산으로 구성되며 쌍선형성, 교대성, 야코비 항등식을 만족하고, 리 군 연구와 분류, 표현 이론에 중요한 역할을 한다.
리 군 - 보렐-베유-보트 정리
보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.

유클리드 군
개요
종류	위상군, 리 군
기호	E(n), iso(n)
관련 항목	유클리드 기하학 등거리 변환 공간군 대칭성 군
정의
정의	유클리드 군 E(n)은 n차원 유클리드 공간의 모든 등거리 변환으로 구성된 군이며, 군 연산은 함수 합성임.
다른 이름	등거리 변환군 iso(n)이라고도 함.
구조
구조	유클리드 군 E(n)은 n차원 벡터 공간 Rⁿ의 변환군으로 생각할 수 있음.
변환	E(n)의 원소는 다음과 같은 형태로 표현 가능: v → A v + b, 여기서 A는 n×n 직교 행렬이고, b는 벡터 in Rⁿ임.
부분군	Rⁿ의 병진 변환 군 점을 고정하는 등거리 변환 군
부분군 상세 정보
병진 변환 군	Rⁿ의 병진 변환 군은 E(n)의 정규 부분군이며, Rⁿ과 동형임.
점을 고정하는 등거리 변환 군	E(n)에서 임의의 점을 고정하는 등거리 변환 군은 직교군 O(n)과 동형임. E(n)은 Rⁿ과 O(n)의 반직접곱으로 표현될 수 있음: E(n) = Rⁿ ⋊ O(n). 이는 O(n)이 Rⁿ에 작용하여 E(n)을 형성함을 의미함.
유향 유클리드 군
정의	유향 유클리드 군 E⁺(n)은 E(n)의 부분군으로, 행렬 A의 행렬식이 +1인 등거리 변환으로 구성됨. 이는 회전과 병진 변환의 조합에 해당함.
다른 이름	특수 유클리드 군 SE(n)이라고도 함.
관계	E⁺(n) = Rⁿ ⋊ SO(n), 여기서 SO(n)은 특수 직교군임.
예시
E(1)	1차원 유클리드 군은 직선 위의 등거리 변환으로, 병진 변환과 반사로 구성됨.
E(2)	2차원 유클리드 군은 평면 위의 등거리 변환으로, 병진 변환, 회전, 반사, 미끄럼 반사로 구성됨. E(2)의 부분군은 프리즈 군과 벽지군을 포함함.
E(3)	3차원 유클리드 군은 3차원 공간의 등거리 변환으로, 병진 변환, 회전, 반사, 회전 변위로 구성됨. E⁺(3)은 영화 운동학에서 강체의 운동을 설명하는 데 사용됨.
관련 정리
샤를의 정리	3차원 유클리드 공간에서 E⁺(3)의 모든 원소는 나선 변위임.

2. 정의

'''유클리드 군'''(Euclidean group^영어) $\operatorname{IO}(n)$ 은 유클리드 공간의 등거리 변환들의 위상군이다.

'''특수 유클리드 군'''(特殊Euclid群, special Euclidean group^영어) $\operatorname{ISO}(n)$ 은 직교군 대신 특수 직교군을 사용하는, 방향을 보존하는 등거리 변환들의 군이다.

$\operatorname{ISO}(n)$ 과 $\operatorname{IO}(n)$ 은 각각 $\operatorname{SE}(n)$ 및 $\operatorname E(n)$ 으로 표기하기도 한다.

유클리드 군 E(''n'')은 모든 등거리 변환을 포함하는 반면, 특수 유클리드 군 SE(''n'') 또는 E⁺(''n'')은 방향을 보존하는 등거리 변환(평행 이동, 회전 및 이들의 조합)으로 구성된다. 항등 변환은 포함하지만 반사는 포함하지 않는다.

방향을 반전시키는 등거리 변환은 '''간접''' 또는 '''반대''' 등거리 변환이라고 하며, E⁻(''n'')으로 표기할 수 있다. 이들은 E⁺(''n'')의 잉여류를 이루며, E(''n'')에서 지수가 2인 부분군 E⁺(''n'')을 갖게 한다.

2. 1. 유클리드 군의 표현

유클리드 군은 직교군 O(''n'')과 평행이동 군 T(''n'')의 반직접곱으로 표현될 수 있다. 즉, E(''n'') = T(''n'') ⋊ O(''n'')이다. 여기서 직교군 O(''n'')의 ℝ^''n'' 위의 작용은 ''n''×''n'' 행렬의 ''n''차원 벡터 위의 작용이다.

마찬가지로, 특수 유클리드 군은 특수 직교군 SO(''n'')과 평행이동 군의 반직접곱으로 표현된다: SE(''n'') = T(''n'') ⋊ SO(''n'').

\operatorname{ISO}(n)

과

\operatorname{IO}(n)

은 각각

\operatorname{SE}(n)

및

\operatorname E(n)

으로 표기하기도 한다.

유클리드 군 E(''n'')은 ''n''차원 아핀 군의 부분군이다. 두 군 모두 유클리드 변환 군과 원점을 보존하는 변환 군의 반직접곱으로 구조화되어 있으며, 이러한 곱 구조는 유클리드 군이 아핀 군에 포함됨으로써 존중된다. 이는 명시적 표기법으로 요소를 쓰는 두 가지 방법을 제공한다.

# (''A'', ''b'') 쌍으로, ''A''는 ''n'' × ''n'' 직교 행렬이고, ''b''는 크기가 ''n''인 실수 열 벡터이다.

# 아핀 군에서 설명한 대로, 크기가 ''n'' + 1인 단일 정사각 행렬이다.

펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에 따르면, 유클리드 기하학은 유클리드 군의 대칭 기하학이며, 아핀 기하학의 특수한 경우이다. 따라서 모든 아핀 정리들이 유클리드 기하학에도 적용된다. 유클리드 기하학은 거리 개념을 정의할 수 있으며, 이를 통해 각도를 추론할 수 있다.

2. 2. 유클리드 대수

리 대수인 '''유클리드 대수'''(Euclidean algebra^영어)

\mathfrak{iso}(n)

는 유클리드 군

\operatorname{ISO}(n)

(또는

\operatorname{IO}(n)

)의 생성원으로 구성된다. 생성원은 다음과 같다. (물리학 관례에 따라

i

를 추가하여 적었다.)

$iP_i\;(i=1,\dots,n)$ (병진 이동)
$iJ_{ij}\;(i=1,\dots,n,\;J_{ij}=-J_{ji})$ (회전)

이들의 리 괄호는 다음과 같다.

:

[P_i, P_j] = 0

:

[J_{ij}, P_k] = i\left(\delta_{ik}P_j-\delta_{jk}P_i\right)

:

[J_{ij}, J_{kl}] = i\left(\delta_{ik} J_{jl} - \delta_{il} J_{jk} - \delta_{jk} J_{il} + \delta_{jl} J_{ik}\right)

3. 성질

유클리드 군은 $n(n+1)/2$ 차원의 리 군이다. 따라서, 미적분학 개념을 이 설정에 즉시 적용할 수 있다.

베크먼-퀄스 정리(Beckman–Quarles theorem)에 따르면, $n\ge2$일 때 함수 $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n$에 대하여, $f$가 단위 거리를 보존하면 $f$는 등거리 변환이다.^[1]^[2]^[3] $n=1$일 경우에는 이 정리가 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 다음 함수는 단위 거리를 보존하지만 등거리 변환이 아니다.

: $\mathbb R\to\mathbb R$

: $x\mapsto\begin{cases}x+1&x\in\mathbb Z\\x&x\in\mathbb R\end{cases}$

운동군 $E(n)$이 갖는 자유도는 $n(n+1)/2$이다. 예를 들어, $n=2$인 경우 3, $n=3$인 경우 6이 된다. 이 자유도 중 $n$은 평행 이동의 자유도에 할당되며, 나머지 $n(n-1)/2$는 회전 대칭성에 해당한다.

3. 1. 위상수학적 성질

유클리드 공간

\mathbb{E}^n

의 자연스러운 위상은 유클리드 군 E(''n'')에 대한 위상을 내포한다. 즉,

\mathbb{E}^n

의 등거리 변환 수열 ''f''_''i'' (

i \in \mathbb{N}

)는

\mathbb{E}^n

의 임의의 점 ''p''에 대해 점들의 수열 ''p''_''i''가 수렴할 때, 그리고 그 때만 수렴하는 것으로 정의된다.

이 정의로부터, 함수

f:[0,1] \to E(n)

이 연속일 필요충분 조건은

\mathbb{E}^n

의 임의의 점 ''p''에 대해, ''f''_''p''(''t'') = (''f''(''t''))(''p'')로 정의된 함수

f_p: [0,1] \to \mathbb{E}^n

이 연속인 것이다. 이러한 함수를 E(''n'')에서 "연속 궤적"이라고 부른다.

특수 유클리드 군 SE(''n'') = E⁺(''n'')은 이 위상에서 연결되어 있다. 즉,

\mathbb{E}^n

의 임의의 두 직접 등거리 변환 ''A''와 ''B''가 주어지면, E⁺(''n'')에서 ''f''(0) = ''A''이고 ''f''(1) = ''B''인 연속 궤적 ''f''가 존재한다. 간접 등거리 변환 E⁻(''n'')에도 동일하게 적용된다. 반면에, 전체 그룹 E(''n'')은 연결되어 있지 않다. 즉, E⁺(''n'')에서 시작하여 E⁻(''n'')에서 끝나는 연속 궤적은 없다.^[1]

E(3)에서의 연속 궤적은 고전 역학에서 중요한 역할을 하는데, 이는 3차원 공간에서 시간에 따른 강체의 물리적으로 가능한 움직임을 설명하기 때문이다. ''f''(0)을

\mathbb{E}^3

의 항등 변환 ''I''로 간주하며, 이는 물체의 초기 위치를 나타낸다. 임의의 이후 시간 ''t''에서의 물체의 위치와 방향은 변환 ''f''(t)로 설명될 것이다. ''f''(0) = ''I''는 E⁺(3)에 있으므로, 임의의 이후 시간에서의 ''f''(''t'')에 대해서도 동일해야 한다. 이러한 이유로, 직접 유클리드 등거리 변환을 "강체 운동"이라고도 부른다.^[1]

3. 2. 리 이론적 성질

유클리드 대수의 2차 리 대수 코호몰로지는 자명하다. 즉, 유클리드 군의 범피복군은 중심 확대를 갖지 않는다.

2차원 유클리드 군

\operatorname{ISO}(2)

는 비안키 분류의 VII₀에 해당한다.

4. 원소의 분류

유클리드 군의 원소는 방향 보존 여부와 고정점 유무에 따라 다음과 같이 네 종류로 분류된다.

	방향 보존	방향 비보존
고정점 있음	회전	반사
고정점 없음	회전 평행 이동	미끄러짐 반사

'''회전'''(rotation^영어): 고정점을 가지며 방향을 보존하는 변환이다. 고정점 집합을 '''회전축'''(rotation axis^영어)이라고 한다.
'''반사'''(reflection^영어): 고정점을 가지며 방향을 보존하지 않는 변환이다. 고정점 집합을 '''반사 초평면'''(reflection hyperplane^영어)이라고 한다.
'''회전 평행 이동'''(rototranslation^영어): 고정점이 없으며 방향을 보존하는 변환이다. 회전 후 평행 이동을 한 것과 같다.
'''미끄러짐 반사'''(glide reflection^영어): 고정점이 없으며 방향을 보존하지 않는 변환이다. 반사 후 평행 이동을 한 것과 같다.

R=-1

,

\mathbf y=\mathbf0

인 경우를 '''반전 변환'''(parity reversal^영어)이라고 한다. 이는 차원에 따라 회전 또는 반사가 된다.

방향성을 보존하는 등거리 변환은 부분군을 구성하며, 이를 특수 유클리드 군이라고 부르고 E⁺(''n'') 또는 SE(''n'')으로 표기한다. 이들은 평행 이동과 회전을 포함하며, 그 조합 및 항등 변환도 포함하지만 반사는 제외한다.

방향성을 반전시키는 등거리 변환은 '''간접''' 또는 '''반대''' 등거리 변환이라고 한다. 간접 등거리 변환은 E⁺(''n'')의 잉여류이며, E⁻(''n'')으로 표기할 수 있다. 부분군 E⁺(''n'')은 E(''n'')에서 지수 2를 갖는다.

4. 1. 1차원

1차원에서 회전은 항등 함수밖에 없으며, 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이며, 미끄러짐 반사는 존재하지 않는다. 회전축은 1차원이며, 반사 초평면은 0차원이다. 1차원 유클리드 공간을 실직선으로 나타내면, 등거리 변환은 다음과 같은 꼴이다.

:

x\mapsto\sigma x+a\qquad(\sigma\in\{\pm1\},a\in\mathbb R)

$\sigma=1$ , $a=0$ 인 경우는 항등 함수이다. 이는 자명한 회전이다.
$\sigma=1$ , $a\ne0$ 인 경우는 $a$ 만큼의 평행 이동이다.
$\sigma=-1$ 인 경우는 반사이며, 반사 초평면은 $\{a/2\}$ 이다.

E(1)의 등거리 변환은 다음과 같이 분류할 수 있으며, 자유도가 있다.

E(1)의 등거리 변환
등거리 변환 유형	자유도	방향을 보존하는가?
항등 변환	0	예
평행 이동	1	예
점에 대한 반사	1	아니오

4. 2. 2차원

2차원 유클리드 군의 원소는 항등 함수, 평행 이동, 회전, 반사, 미끄러짐 반사가 있다.

2차원에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다. 회전축은 0차원 또는 2차원이며, 반사 초평면은 모두 1차원이다. 2차원인 경우는 항등 함수이며, 0차원인 경우 회전축을 '''회전 중심'''(center or rotation^영어)이라고 한다.

2차원 유클리드 공간은 복소평면

\mathbb C

으로 간편하게 나타낼 수 있다. 이 경우, 2차원 유클리드 공간의 등거리 변환은 다음과 같이 나타내어진다. 아래 표에서

\alpha

는 절댓값이 1인 복소수이다.

평행 이동	$z\mapsto z+w$ , $w\in\mathbb C\setminus\{0\}$	평행 이동 벡터는 $w$
회전	$z\mapsto \alpha(z-z_0)+z_0$	회전 각도는 $\alpha=\exp(2\pi i\theta)$ 일 때 시계 반대 방향으로 $\theta$ 라디안
반사	$z\mapsto\alpha(\bar z-\bar z_0)+z_0$	반사축은 $z_0+\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{\sqrt\alpha\}$ 이다.
미끄러짐 반사	$z\mapsto\alpha(\bar z-\bar z_0)+z_0+\sqrt\alpha w$ , $w\in\mathbb R\setminus\{0\}$	반사축 $z_0+\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{\sqrt\alpha\}$ 에서 반사한 뒤, $\sqrt\alpha w$ 만큼 평행 이동

E(''n'')에 대한 자유도는 $\frac{n(n+1)}{2}$ 이며, 이는 $n=2$ 인 경우 3, $n=3$ 인 경우 6을 제공한다. 이 중 ''n''은 사용 가능한 병진 대칭에 기인할 수 있으며, 나머지 $\frac{n(n-1)}{2}$ 는 회전 대칭에 기인할 수 있다.

E(2)의 등거리 변환
등거리 변환 유형	자유도	방향을 보존하는가?
항등 변환	0
평행 이동	2
점에 대한 회전	3
선에 대한 반사	2
글라이드 반사	3

4. 3. 3차원

3차원 유클리드 군 E(3)의 원소는 다음과 같이 분류할 수 있다.

E(3)의 등거리 변환
등거리 변환 유형	자유도	방향 보존 여부
항등 변환	0
평행 이동	3
축에 대한 회전	5
스크류 변위	6
평면에 대한 반사	3
글라이드 평면 연산	5
부정 회전	6
점에 대한 반전	3

샤슬의 정리에 따르면, 3차원 특수 유클리드 군 E⁺(3)의 모든 원소는 스크류 변위이다.^[1] 3차원에서 회전축은 1차원 또는 3차원이며, 반사의 반사 초평면은 0차원 또는 2차원이다. 회전축이 3차원인 경우는 항등 함수인 경우이다. 반사 초평면이 0차원인 경우는 '''회전 반사'''인 경우이며, 2차원인 경우는 '''반사 평면'''이라고 한다.^[2]

E(''n'')에 대한 자유도는 n(n+1)/2이며, n=3인 경우 6을 제공한다. 이 중 n은 사용 가능한 병진 대칭에 기인할 수 있으며, 나머지 n(n-1)/2는 회전 대칭에 기인할 수 있다.^[3]

유클리드 군의 직접 등거리 변환(즉, 방향성)을 보존하는 등거리 변환은 부분군을 구성하며, 이를 특수 유클리드 군이라고 부르며 일반적으로 E⁺(''n'') 또는 SE(''n'')으로 표기한다. 이들은 평행 이동과 회전을 포함하며, 그 조합을 포함하며, 항등 변환도 포함하지만 반사는 제외한다.

방향성을 반전시키는 등거리 변환을 '''간접''' 또는 '''반대''' 등거리 변환이라고 한다. 어떤 초평면에 대한 반사와 같은 임의의 고정된 간접 등거리 변환 ''R''에 대해, 다른 모든 간접 등거리 변환은 ''R''과 어떤 직접 등거리 변환의 합성으로 얻을 수 있다. 따라서 간접 등거리 변환은 E⁺(''n'')의 잉여류이며, E⁻(''n'')으로 표기할 수 있다. 결과적으로 부분군 E⁺(''n'')은 E(''n'')에서 지수 2를 갖는다.

특수 유클리드 군 SE(3)은 고전역학에서의 강체의 운동학에서 사용된다. '''강체 운동'''은 실질적으로 이 유클리드 군에서의 곡선과 같다.

5. 부분군

유클리드 군의 부분군은 다음과 같이 분류된다.

유한군: 항상 고정점을 가진다. 3차원에서는 모든 점에 대해 O_''h''와 I_''h''라는 두 가지 최대 유한군(포함 관계에 대한)이 존재한다.
가산 무한군:
임의로 작은 이동, 회전 또는 조합이 없는 경우: 모든 점에 대해 등거리 변환에 따른 이미지의 집합은 위상적으로 이산적이다. 격자와 이산 공간군이 이 범주에 포함된다.
임의로 작은 이동, 회전 또는 조합이 있는 경우: 등거리 변환에 따른 이미지의 집합이 닫혀 있지 않은 점이 존재한다.
비가산 군:
등거리 변환에 따른 이미지의 집합이 닫히지 않은 점이 있는 경우
모든 점에 대해 등거리 변환에 따른 이미지의 집합이 닫힌 경우:
원점을 고정하는 모든 직접적인 등거리 변환 (3차원에서 회전군)
원점을 고정하는 모든 등거리 변환 (직교군)
모든 직접적인 등거리 변환 E⁺(''n'')
전체 유클리드 군 E(''n'')

3차원에서 조합의 예시는 다음과 같다.

한 고정 축에 대한 모든 회전
축을 통과하는 평면 또는 축에 수직인 평면에서의 반사와 결합된 회전
축을 따른 이산적인 이동 또는 축을 따라 모든 등거리 변환과 결합된 회전

6. 등거리 변환의 합성

일부 등거리 변환 쌍은 합성 순서에 관계없이 동일한 결과를 나타낸다(교환 법칙 성립). 예를 들면 다음과 같다.

두 평행이동
같은 축에 대한 두 회전 또는 나사 회전
평면에 대한 반사와 해당 평면에서의 평행이동, 평면에 수직인 축에 대한 회전, 또는 수직 평면에 대한 반사
평면에 대한 미끄럼 반사와 해당 평면에서의 평행이동
점에서의 반전과 해당 점을 고정하는 임의의 등거리 변환
축에 대한 180° 회전과 해당 축을 통과하는 평면에서의 반사
축에 대한 180° 회전과 수직 축에 대한 180° 회전 (두 축에 수직인 축에 대한 180° 회전이 됨)
같은 평면에 대한 동일 축상의 두 회전반사
같은 평면에 대한 두 미끄럼 반사

7. 켤레류

어떤 방향으로든 주어진 거리만큼의 평행 이동은 켤레류를 형성한다.

1차원에서는 모든 반사가 동일한 켤레류에 속한다.

2차원에서는 동일한 각도만큼 양방향으로 회전하는 것은 동일한 켤레류에 속한다. 동일한 거리만큼 이동하는 활주 반사도 동일한 켤레류에 속한다.

3차원에서는 다음과 같다.

모든 점에 대한 반전은 동일한 켤레류에 속한다.
동일한 각도로의 회전은 동일한 켤레류에 속한다.
각도가 동일하고 이동 거리가 동일한 경우, 축을 중심으로 회전하고 해당 축을 따라 이동하는 것은 동일한 켤레류에 속한다.
평면에서의 반사는 동일한 켤레류에 속한다.
동일한 거리만큼 해당 평면에서 이동과 결합된 평면에서의 반사는 동일한 켤레류에 속한다.
180°와 같지 않은 동일한 각도로 축을 중심으로 회전하고 해당 축에 수직인 평면에서의 반사와 결합된 것은 동일한 켤레류에 속한다.

참조

_[1] 논문 On isometries of Euclidean spaces
_[2] 논문 Congruence-preserving mappings
_[3] 논문 Characterizing motions by unit distance invariance

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com